Fermat‘s Last Theorem

震惊世界的证明和一点小麻烦

1993年6月，在英国剑桥大学的一个数学会议上，Andrew Wiles给出了一系列报告，标题晦涩朦胧——“模形式、椭圆曲线、伽罗瓦群表现”（Modular Forms, Elliptic Curves, and Galois Representations）。他的论证过程冗长且技巧性很强，到第三次演讲进行20分钟后才进入尾声。为了强调所得结果，他在最后打上了=>FLT （“Implies Fermat’s Last Theorem”）。Fermat’s Last Theorem，费马大定理，是数学史上的著名猜想，由 17 世纪法国律师兼业余数学家皮耶·德·费马提出，但经过350年仍然没有完备的证明。普林斯顿大学的教授Wiles躲在家中的阁楼里，默默研究这个古老难题整整七年。现在他要公布自己的证明。

这番讲话令在座的人震惊，令世界震惊，第二天就登上了纽约时报的头版。服装零售商Gap（盖普公司）邀请Wiles设计一款新的牛仔裤，尽管最后被他拒绝。《人物》杂志评选他为“年度最有魅力的25位人物之一”，在列的还有戴安娜王妃、迈克尔·杰克逊和比尔·克林顿。著名撰稿人Barbara Walters（芭芭拉·沃尔特斯）联系他进行访问，而Wiles回复：“Barbara Walters是谁？”

但赞美未能持久。一个证明被提出之后，必须经过仔细的检查和验证才可能被承认是准确和正确的。Wiles向著名的Inventiones Mathematicae（《数学发明》）投稿了200页的证明，编辑随后将原稿分发给6位审稿人，其中之一是普林斯顿大学的数学家Nick Katz。

Katz和另一位法国同事Luc Illusie花了两个月时间，仔细检查所负责原稿部分的每个逻辑环节，总会遇到一些他们搞不清楚的论证。Katz会给Wiles发电子邮件，而Wiles会回复澄清问题。但八月底Wiles给出的一个问题解释并不能说服两位审稿人。在进一步研究后，Wiles明白Katz找到了论文数学逻辑框架的一个缺陷。起初，简单的修复似乎可行。但当Wiles在缺陷上着手时，逻辑框架的碎片开始脱落。

Wiles 意识到这不只是一个浅显简单的失误，甚至可能超出一个可修复的缺陷，他愈发惊恐。最好的情况，它只是一个有缺陷的锚点留下的间隙，而他不得不用未定义的“材料”来填补。但如果它是无法修复的缺陷，一个丢人的错误，会让整个大定理的证明崩塌殆尽。

数学史上的黯淡的一页

费马大定理具有不可思议的简洁性，这也是其数学之美的一部分。Fermat于1637年提出，当时他正在阅读古希腊数学家丢番图编纂的《算术》。书中有关于毕达哥拉斯定理（勾股定理）的讨论。如我们所学，直角三角形的斜边长平方是两直角边的平方和。或者用数学形式表示，x、y、z分别是三条边长，满足x² + y² = z²。

丢番图找到了一些正整数解，命名为“勾股数组”（Pythagorean Triples，或称毕式数组），并且证明存在无穷多勾股数组（严格来说，存在无穷多三个数互质的素勾股数组）。最简单的例子是埃及三角形的（3, 4, 5）；还有（5，12，13）和（145，408，433）.

Fermat接着发问：能否在高维下找到类似的数组？或者说，形如 a³ + b³ = c³的方程有没有正整数解？那么 a⁴ + b⁴ = c⁴ ，a^10,007+ b^10,007 = c^10,007？Fermat的答案是不能。将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，不存在满足条件的a，b，c。Fermat在《算术》的页边写下有名的一句话：“我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”

他似乎也从来没有在别处详细阐述过。Fermat去世后，他的儿子Samuel出版一本新版的《算术》，里面包括了Fermat在页边做的所有笔记。笔记中的数学命题，往往没写下证明过程，留下了一个不可抗拒的挑战。几年之内，读者几乎证明出所有的命题，除了关于高维勾股数组的。这是“最后一个”未能证明的发现（费马大定理也称费马最后定理）。

几个世纪以来，费马大定理成了科学家、业余爱好者和“民科”们追逐的对象，每次看似靠近却发现没有出路。（数学王子Carl Friedrich Gauss是早期少数抵制其魅力的理论家之一，他驳斥它为“一个孤立的命题，让我没有什么兴趣”。）它被收录在数论课本和畅销的益智书里面。科学院为它悬赏可观的奖金。但即使最优秀的数学家在费马大定理上取得的进展也很有限，它的恶名随时间滋长。费马在笔记中给出了n=4时的定理证明。数学家之后也证出大定理对n小于100以及n的倍数都是成立的，但是对所有n，他们无法证明大定理成立，也没有人能推翻。

不过，他们的探索带来了别的收获。从失败的废墟中，诞生出开辟广阔数学新领域的深层理论。1847年，法国数学家Augustin Louis Cauchy和他的对手Gabriel Lamé ，他们这一代中最杰出的两人，都相信自己借助包含虚数的复数系（实数系的延伸）证明了费马大定理。典型的虚数形式是bi，其中i = √(-1)；b是实数，可以是-2、 5/3或者其他。一个复数写作a+bi，具有一个实部a和一个虚部bi。（像–2 + 5i）

Cauchy 和 Lamé 的证明都基于一个被普遍认为正确的猜想：复数和实数一样，可以被分解成一组唯一的质数。6=2×3，除了更改顺序分解成3×2，不会有别的结果。但Cauchy 和 Lamé 的困境突然出现，他们同时代的德国数学家Ernst Kummer证明某些复数可以有多种方式的质因数分解。6 + 0i，可以分解成2 x (√2 + i) x (√2 – i) 或者 (1 + √5i) x (1 – √5i)。 为了修正复数的唯一质因数分解，Kummer创造出代数中的一个概念——理想（ideals），对后世抽象代数的发展有重要作用。美国代数学家Leonard Eugene Dickson在20世纪初写道，Kummer的创造是“上世纪最重要的科学成就之一”。

但费马大定理的证明停滞在这里。19世纪中后期，大多数主流数学家跟从Gauss的选择，搁置了费马大定理。他们已经穷尽了所有可能的方法，提不出新的解决思路。不论这段历史的真假，在其他数学领域也没出现任何已知的进展。尝试证明大定理或是推翻它都是时间和精力的巨大冒险。一个大有可为的数学家可以花一生时间苦心研究一个解决方法，然后思维枯竭却拿不出和努力相当的成果。

切入口 —— 谷山-志村猜想

10岁的时候，Andrew Wiles第一次接触到费马大定理。像许多拥有数学梦的孩子一样，他期望能够解决它。但是于剑桥攻读博士期间，Wiles 听从导师的建议，选择避开那条可能的死胡同。另一方面，他转而学习在密码学中非常有用的椭圆曲线；椭圆曲线的图看起来像甜甜圈的表面。

在Wiles到普林斯顿任教之后，1986年加州大学伯克利分校的数论学家Ken Ribet 对费马定理的证明提出一个意想不到的方法思路，具有深远的意义。此前30年，东京大学两个年轻的研究中Utaka Taniyama（谷山丰）和 Goro Shimura（志村五郎）提出了一个猜想，建立起椭圆曲线（代数几何的对象）和模形式（数论中用到的某种周期性全纯函数）之间的重要联系，被命名为谷山-志村猜想。

模形式是数论中常用的工具，存在于四维双曲空间，具有惊人的对称性。正方形绕中心旋转π/2可以和自身重合；同样，一个模形式经过旋转、反射或其他变换后，还是能与自身重合。另一方面，椭圆曲线本身就是一种代数结构。当你在复平面中画出满足 y² = x³ + Ax + B （A 和B 是常数）的图像，就得到椭圆曲线。

谷山和志村提出了一个大胆而不成熟的想法：模形式是椭圆曲线的另一种形式。如果他们是对的，那么至今所有有关模形式的研究成果都可以用椭圆曲线的语言表示出来，反过来也一样。证明这个猜想将是实现数学不同分支之间统一的关键。

它或是证明费马大定理的切入口。20世纪70年代，一个法国博士生Yves Hellegouarch证明如果费马大定理是错误的，也就是说能找到方程aⁿ + bⁿ = cⁿ的解，那么就可以得到符合y² = x(x – aⁿ)(x + bⁿ)的椭圆曲线。10年之后，德国数学家Gerhard Frey 进一步指出只有谷山-志村猜想错误的情况下，尽管其椭圆方程不能模式化，但上述的椭圆曲线仍会存在。或者更直接些：费马大定理的真实性将是谷山-志村猜想一经证明之后的直接结果。

Ribet证明了Frey的猜想是正确的。Wiles感觉受到了鼓舞，现在他可以重拾小时候证明费马大定理的梦想而不必背离当下主流的数学研究。他躲进家中的顶楼，决心证明谷山-志村猜想。

差点失之毫厘

到1993年12月，剑桥演讲结束已经过了6个月， Wiles几乎没有告诉任何人这个数学界等待了几个世纪的证明在他身后摇摇欲坠。只有论文的审稿人和他的密友知道证明存在缺陷。而外面Wiles根本没有证明费马大定理的谣言开始肆虐，数学家们要求他公开论文的手稿。如果存在错误，同行们寄希望于某个人能魔术般地看清并修复这个缺陷。

但Wiles不准备让他人轻易攫取这份荣誉。他又回到阁楼里的孤独状态。甚至一直担任Wiles非官方新闻联络人的Ribet也无法联系到他。普林斯顿的数学教授、Wiles的朋友Peter Sarnak说：“不知怎么的，人们的想法是‘你要证明费马大定理，否则你将陷入麻烦。’”

Sarnak劝说Wiles去找一个合作者一起修复这个缺陷，即使仅仅“能让他的想法从过于熟悉的人身上脱离开去。”Wiles电话邀请了他以前的学生Richard Taylor。Taylor当时已经是剑桥大学著名的数论学家。起初，他们尝试了Taylor所说的“局部化操作”：对Wiles不完备的证明中使用的方法进行小的改良，从而修正错误。

没有效果。Taylor回忆说，接着他们决定“扩大范围，寻找其他的方法”。整个春季再到夏季，他们一直在工作，甚至常常在深夜里通过电话长时间讨论。Taylor说：“我从来没有过这么高昂的电话账单”。

但是到1994年9月，他们的努力没有任何进展。在准备向世界承认失败的前一刻，Wiles决定“最后一次检查”最初的方法结构，试图确切地找出它不能奏效的原因。在BBC的记录片The Proof中，他讲述了接下来的故事。“突然间，完全出乎意料，我有了一个难以置信的发现。”在曾经失败的技术的余烬中恰恰有用来证明另一个猜想的工具。那个工具就是他的“伊娃沙娃理论”。他在三年前放弃了这种方法，但现在他能用它彻底地弥补缺陷，证明费马大定理。“它真是无法形容地美；它又是多么简单和明确，我呆望着不敢相信。”

通过Wiles的新理论，他和Taylor很快在几个星期内修复了缺陷。1995年5月，在杂志Annals of Mathematics（《数学年刊》）上，他们发布了集合所有工作的两篇论文，最终的证明和附带的讨论长达130页。

这是不是Fermat未写下的证明，那个因《算术》的页边太窄而写不下的“美妙的证法”？唯一合理的答案是“NO”。为了证明费马大定理，Wiles使用了最新的数学工具和思想，它们的诞生远晚于Fermat的时代。大多数数学家认为Fermat的定理是在错误中总结的。如果他确信自己知道证明方法，很有可能只是迷惑了自己。

但重要的不是Fermat个人的对和错。古希腊人可能点燃了数论领域的源。而Fermat的一次误导性的吹嘘，把奄奄一息的火焰煽成了数学的一个主要分支。他不完美的天才留给我们的数学遗产远远比给他如何得出猜想的琐碎小事重要。

而对Wiles来说，所幸他的失误仅仅是一个可以弥补的缺陷。